OFDM原理学习

1 OFDM 基本原理

OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) 正交频分复用是一种多载波调制技术, 基于FFT和IFFT实现, 其核心思想是将宽频带载波划分成多个带宽较小的正交子载波, 具有较好的抗多径衰落的能力, 支持多用户接入, 频谱效率高等特点。假设一共有 个子载波，每个子载波间隔为 ，其中 是符号时间，数学表达式如下：

复数表达式为：

1.1 时域频域波形

时域信号不是无限长的，需要对基带信号进行截断处理，变为一个时域有限信号，截取的时间长度即为 OFDM 的符号持续时间，记为 。这个处理相对于给基带信号乘以一个持续时间为 的矩形窗函数。
持续时间为 的矩形窗函数为 ，傅里叶变化为 ：

真实系统中没有负时间，需要将矩形窗右移到正时间轴：

如图所示，右移一段距离后，不影响频谱波形。OFDM 本质上式幅度调制，不管是频域或时域，数据本身的有效形式都是 ，因此时间窗移位到正时间轴上任意位置都可以。OFDM 的时域有限信号形式为：

信号时域相乘等于频域卷积，，单个子载波的频谱搬移过程如下：

OFDM 调制过程即为用不同频点的子载波信号的幅度表示 序列。子载波时域上被窗函数截断变成时域有限信号，这个时间窗也被称为脉冲成型滤波器，此时频域上一个子载波的波形由 函数表示。时频域波形如下：

频谱中每个子载波的峰值点正好在其余子载波的过零点。

1.2 正交性和子载波间隔

函数正交指任何两个相异的函数的乘积在 上的内积为 0 。
设一个 OFDM 符号持续时间 T 内任意两个子载波为 ，满足正交性的话有：

展开可得:
$$
\begin{aligned}
0
&=\int_{t_0}^{t_0+T}\cos!\bigl(2\pi f_k t+\varphi_k\bigr),\cos!\bigl(2\pi f_i t+\varphi_i\bigr),dt\
&=\tfrac12\int_{t_0}^{t_0+T}\cos!\bigl(2\pi(f_k-f_i)t+(\varphi_k-\varphi_i)\bigr),dt
;+;\tfrac12\int_{t_0}^{t_0+T}\cos!\bigl(2\pi(f_k+f_i)t+(\varphi_k+\varphi_i)\bigr),dt\
&=\frac{1}{4\pi(f_k-f_i)}
\Big[\sin!\bigl(2\pi(f_k-f_i)t+(\varphi_k-\varphi_i)\bigr)\Big]{t_0}^{,t_0+T}
;+;\frac{1}{4\pi(f_k+f_i)}
\Big[\sin!\bigl(2\pi(f_k+f_i)t+(\varphi_k+\varphi_i)\bigr)\Big]{t_0}^{,t_0+T}.
\end{aligned}\tag{5}
$$

上述等式要成立，则需满足：

其中 m、n 为整数，相位参数可以取任意值，子载波频率要满足：

为整数，同时子载波间隔满足：

n 为整数，因此 n=1 时可以取到最小子载波间隔。

1.2.1 子载波间隔计算

调制过程中，IFFT 输出长度为 ，每个采样点时长为 ，一个 OFDM 符号时长为
正好与最小子载波间隔成倒数，符合计算结果。

1.3 频带效率

FDM 每个子载波都需要单独调制解调，系统复杂度高，并且由于频带保护间隔的存在，频谱效率较低。而 OFDM 的子载波频谱之间允许部分重叠，子载波信号依然保有正交性，节省传输带宽，并且 OFDM 只需进行一次调制解调，复杂度低。
假设 OFDM 有 个子载波，符号持续时间为 ，每个子载波采用 M 进制的调制方式，占用的频带宽度为：

频带利用率为单位带宽传输的比特率：

OFDM 参数计算

符号

1. ：FFT 的点数
2. ：实际上使用的子载波数（去掉保护边带、保护频点、导频）
3. ：采样率
4. ：采用周期
5. ：子载波间隔
6. ：有用符号时长，不包含 CP
7. ：循环前缀时长
8. ：完整 OFDM 符号时长
9. ：OFDM 符号率
10. 子载波调制阶数
11. 纠错编码率

频域正交条件

在连续时间基带表示下，第 个子载波的基函数为 ，若要在区间 上相互正交，则要满足：

满足上面的式子的条件为：

子载波间隔等于有用符号时长的倒数

IFFT/FFT 与采样率之间的关系

在使用 N 点 IFFT 实现 OFDM 的过程中，离散频率格点的间隔是 ，为了让离散实现的子载波间隔等于 ，则需要满足：

可以计算出：

循环前缀与符号率

完整的 OFDM 符号时长为：

循环前缀通常以有用符号时长的比例给出，。CP 的样本数为：

为了把多径线性卷积转化为循环卷积，需要：

其中的 为离散时间信道脉冲响应的抽头数

有效数字速率

每个 OFDM 符号在所有有效子载波上能承载的比特数量为：

考虑编码率和导频等开销，单个符号的有效信息比特数为：